Die Symmetrie ist ein Konzept, das in der Welt weit verbreitet ist, ob in der Architektur, der Biologie oder in ganzen Epochen, wie dem Barock¹s. Wikipedea: Barock.

Und auch in der Mathematik treten bei fast allen Funktionsklassen, die in der Schule behandelt Arten der Symmetrie auf.

Achsensymmetrie

Schon in der Grundschule lernt man das Konzept der Achsensymmetrie kennen. Man schaut sich Verkehrszeichen, Namen oder andere Figuren an und prüft, ob diese symmetrisch sind bzw. ob es eine Symmetrieachse gibt.

In der zehnten Jahrgangsstufe³an einem bayrischen Gymnasium betrachtet man Symmetrie auch an Funktionsgraphen. Wir wiederholen aber zunächst das allgemeine an der Achsensymmetrie:

Spiegeln an einer Symmetrieachse – worauf kommts an?

Das, was jetzt erklärt wird, ist den meisten wohl klar, allerdings möchte ich das dennoch kurz wiederholen: Wie spiegelt man einen Punkt einer Symmetrieachse?

1. Man zeichnet das Lot auf die Symmetrieachse durch den zu spiegelnden Punkt ein.
2. Man misst den Abstand vom Punkt zur Achse entlang der Gerade und zeichnet einen zweiten Punkt mit dem Abstand zur Achse auf der anderen Seite der Achse auf dem im Punkt 1 gezeichnete Lot.
3. Hat man es mit Geraden zu tun, so muss man dies mit zwei Punkten auf der Gerade machen, bei anderen Kurven mit mehr.

Video von Lehrer Schmidt als Erklärung:

Achsensymmetrie bei Funktionen

Wir betrachten die in $\mathbb{R}$ definierte Funktion $f(x):=x^2$⁴$:=$ bedeutet in der Mathematik, dass etwas definiert wird. Dafür zeichen wir uns den Graphen $\mathrm{G}_f$:

Uns fällt relativ leicht die Symmetrie entlang der auf, $y$-Achse auf. Und um solche Symmetrien entlang der $y$-Achse geht es in diesem Kapitel der Analysis auch.

Wir schauen uns erstmal den Graphen im Intervall $[0;\infty[$ an, um uns dann klarzumachen, welche Bedingung für die Symmetrie gelten muss.

In der obigen Abbildung ist der Punkt $A(x_0\mid f(x_0))$ eingezeichnet. Im Folgenden wollen wir uns überlegen, welche Koordinaten der gespiegelte Punkt $A’$ haben muss.

Der Punkt $A$ hat zur $y$-Achse (Symmetrieachse) den Abstand $x_0$, deshalb muss der Spiegelpunkt $A’$ die $x$-Koordinate $-x_0$ haben.

Wir wissen also, dass unser gespiegelter Punkt $A’$ die Koordinaten $A'(-x_0\mid\square)$ haben muss. Nun ist es fast schon trivial, dass der Punkt die $y$-Koordinate $f(x_0)$ haben muss, da man sonst kein Lot auf die $y$-Achse hat.

Der Spiegelpunkt zu $A(x_o\mid f(x_0))$ hat also die Koordinaten $$A'(-x_0\mid f(x_0))$$

Als allgemeine Regel lässt sich sagen, dass der Graph einer Funktion achsensymmetrisch ist, wenn $$f(x)=f(-x)$$ gilt.

Punktsymmetrie

Die Punktsymmetrie ist dann schon schwerer zu verstehen als die Achsensymmetrie. Wie der Name schon sagt, spiegelt man die Objekte nicht an einer Gerade, sondern an einem Punkt, dem sog. „Symmetriezentrum“ $z$. Man spiegelt einen Punkt $A$, indem man die Strecke $\overline{Az}$ um 180° rotiert. Anders gesagt erweitert man diese Strecke um dieselbe Länge:

Punktsymmetrie am Funktionsgraphen

Wir betrachten im Folgenden die in $\mathbb R$ definierte Funktion $f(x):=x^5-2x^3+x$, die den Graphen $\mathrm G_f$ besitzt.

In der obigen Abbildung sieht man $\mathrm G_f$ mit einem eingezeichneten Symmetriezentrum, das im Ursprung liegt. Und um solche Punktsymmetrien geht es: Punktsymmetrien, die ihr Zentrum im Ursprung haben.

Wir betrachten nun wieder den Graphen im Intervall $[0;\infty[$ und suchen uns einen Punkt, den wir spiegeln wollen:

Um diesen Punkt nun punktsymmetrisch zu spiegeln, müssen wir die Strecke $[Az]$ um die Länge $\overline{Az}$ an $z$ hängen, graphisch sähe dies so aus:

Das heißt, der Punkt $(x_0\mid f(x_0))$ hat auf diese Art und Weise gespiegelt die Koordinaten $(-x_0\mid -f(x_0))$. Es lässt sich also die Regel aufstellen, dass eine Funktion punktsymmetrisch ist, wenn⁵Die untenstehende Formel bedeutet: Für alle $x\in D$ gilt $f(-x) = -f(x)$ $$\forall x\in D: f(-x)=-f(x)\qquad \text{gilt.}$$

Wie prüft man die Symmetrie?

Ist die Aufgabe, zu prüfen, ob eine Funktion symmetrisch ist, so muss man $-x$ in die Funktion einsetzen, und dies dann vereinfachen. Gilt dann eine der o.g. Bedingungen, handelt es sich um eine Symmetrie.

Bsp.: Die Funktion $f(x)=x^4+x^2+3$ ist achsensymmetrisch, da $f(-x)=(-x)^4+(-x)^2+3=x^4+x^2+3$.

Aufgaben

Arbeitsblatt 1: Aufgabe 1

Arbeitsblatt 2:

tl:dr